Matematici generale şi elemente de optimizare. Teorie şi aplicaţii. Ediţia a treia

C U P R I N S
Prefaţă la ediţia a treia .............................................................................................................. 7
Partea întâi
Elemente de algebră liniară şi optimizare liniară ............................................................ 9
1. Noţiuni de algebră liniară..................................................................................................... 11
1.1. Noţiuni (recapitulative) de calcul matriceal .................................................................... 13
1.1.1. Definiţii şi notaţii ................................................................................................. 13
1.1.2. Egalitatea matricelor............................................................................................. 14
1.1.3. Adunarea şi scăderea matricelor........................................................................... 15
1.1.4. Înmulţirea unei matrice cu un număr (scalar)....................................................... 15
1.1.5. Înmulţirea (sau produsul) a două matrice............................................................. 16
1.1.6. Transpunerea unei matrice ................................................................................... 16
1.1.7. Partiţionarea matricelor ........................................................................................ 17
1.1.8. Determinant asociat unei matrice pătrate ............................................................. 17
1.1.9. Inversa unei matrice ............................................................................................. 19
1.1.10. Rangul unei matrice............................................................................................ 19
1.1.11. Transformări elementare de matrice................................................................... 20
1.1.12. Inversare prin partiţionare .................................................................................. 22
1.1.13. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 24
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare ................................................................................................ 27
1.2.1. Generalităţi ........................................................................................................... 27
1.2.2. Rezolvarea sistemelor neomogene ....................................................................... 28
1.2.3. Rezolvarea sistemelor omogene ........................................................................... 33
1.2.4. Rezolvare parţială prin partiţionare ...................................................................... 34
1.2.5. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 35
1.3. Sisteme de inecuaţii liniare ............................................................................................. 37
1.3.1. Generalităţi ........................................................................................................... 37
1.3.2. Rezolvare algebrică .............................................................................................. 38
1.3.3. Rezolvare grafică.................................................................................................. 39
1.3.4. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 40
1.4. Spaţiul vectorial (liniar) Rn ............................................................................................. 41
1.4.1. Definiţii generale.................................................................................................. 41
1.4.2. Spaţiul vectorial Rn............................................................................................... 42
1.4.3. Dependenţa şi independenţa liniară în Rn............................................................. 43
1.4.4. Bază a spaţiului vectorial (liniar) Rn .................................................................... 45
1.4.5. Soluţii de bază ale unui sistem de ecuaţii liniare................................................. 47
1.4.6. Subspaţii liniare (vectoriale) în Rn ....................................................................... 49
846 Matematici generale şi elemente de optimizare
1.4.7. Calculul inversei unei matrice obţinute prin schimbarea
unei coloane sau linii a matricei A folosind inversa ei A–1 ................................. 50
1.4.8. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 52
1.5. Spaţiul euclidian real Rn.................................................................................................. 54
1.5.1. Produs scalar ........................................................................................................ 54
1.5.2. Vectori ortogonali ................................................................................................ 55
1.5.3. Norma................................................................................................................... 56
1.5.4. Distanţa................................................................................................................. 58
1.5.5. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 58
1.6. Varietăţi liniare în Rn ...................................................................................................... 61
1.6.1. Dreaptă şi semiplan în spaţiul R2.......................................................................... 61
1.6.2. Plan, dreaptă şi semispaţiu în spaţiul R3............................................................... 61
1.6.3. Hiperplan, semispaţiu, tronson şi poliedru în Rn .................................................. 62
1.6.4. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 63
1.7. Funcţionale liniare şi funcţionale pătratice .................................................................... 63
1.7.1. Funcţionale liniare................................................................................................ 63
1.7.2. Vectori şi valori proprii ale unei matrice.............................................................. 66
1.7.3. Funcţionale pătratice ............................................................................................ 67
1.7.4. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 72
1.8. Mulţimi şi funcţii convexe în Rn ..................................................................................... 74
1.8.1. Mulţimi convexe................................................................................................... 74
1.8.2. Funcţii convexe .................................................................................................... 77
1.8.3. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 81
2. Elemente de optimizare liniară în variabile continue ........................................................ 83
2.1. Definiţii şi terminologie .................................................................................................. 85
2.2. Probleme economice care conduc la modele de optimizare liniară ................................ 87
2.2.1. Folosirea eficientă a resurselor limitate................................................................ 87
2.2.2. Alocare optimă de fonduri băneşti ....................................................................... 89
2.2.3. Probleme de nutriţie ............................................................................................. 90
2.2.4. Modele de tip transport......................................................................................... 91
2.3. Forme de prezentare a unei probleme de programare liniară (PPL) .............................. 92
2.3.1. Forma generală ..................................................................................................... 92
2.3.2. Forma standard ..................................................................................................... 93
2.3.3. Forma canonică .................................................................................................... 94
2.4. Trecerea de la o formă de prezentare la alta................................................................... 95
2.4.1. Trecerea de la forma generală la forma standard.................................................. 95
2.4.2. Trecerea de la forma canonică la forma standard................................................. 96
2.4.3. Trecerea de la forma generală la forma canonică................................................. 96
2.4.4. Aplicaţii propuse .................................................................................................. 97
2.5. Soluţiile unei probleme de programare liniară (PPL) .................................................... 98
2.5.1. Soluţii posibile...................................................................................................... 98
2.5.2. Soluţii de bază ...................................................................................................... 99
2.5.3. Soluţii optime ..................................................................................................... 103
Cuprins 847
2.6. Rezolvarea unei probleme de programare liniară ........................................................ 106
2.6.1. Metoda grafică.................................................................................................... 106
2.6.2. Metoda algebrică ................................................................................................ 108
2.6.3. Algoritmul simplex............................................................................................. 110
2.6.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 143
2.7. Dualitate în programarea liniară.................................................................................... 149
2.7.1. Definiţii şi proprietăţi ......................................................................................... 149
2.7.2. Teoreme ale dualităţii......................................................................................... 154
2.7.3. Soluţionarea cuplului de probleme duale ........................................................... 157
2.7.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 162
2.8. Algoritmul simplex dual ............................................................................................... 163
2.8.1. Definiţii .............................................................................................................. 163
2.8.2. Probleme cu soluţii dual posibile de bază .......................................................... 164
2.8.3. Probleme fără soluţii dual posibile de bază........................................................ 166
2.8.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 170
2.9. Reoptimizare în programarea liniară............................................................................. 172
2.9.1. Formularea problemei reoptimizării................................................................... 172
2.9.2. Modificarea termenului liber.............................................................................. 173
2.9.3. Modificarea coeficienţilor funcţiei obiectiv ....................................................... 175
2.9.4. Modificarea unei coloane a matricei restricţiilor................................................ 176
2.9.5. Modificarea unei linii a matricei restricţiilor...................................................... 180
2.9.6. Adăugarea unor variabile noi ............................................................................. 182
2.9.7. Adăugarea unor noi restricţii.............................................................................. 184
2.9.8. Modificarea mai multor elemente ale problemei................................................ 187
2.9.9. Utilitate practică ................................................................................................. 189
2.9.10. Aplicaţii propuse .............................................................................................. 189
2.10. Programare liniară parametrică ................................................................................... 191
2.10.1. Formularea problemei parametrizării ............................................................... 191
2.10.2. Dependenţa liniară de un parametru a termenului liber ................................... 192
2.10.3. Dependenţa liniară de doi parametri a termenului liber ................................... 195
2.10.4. Dependenţa neliniară de un parametru a termenului liber................................ 197
2.10.5. Dependenţa liniară de un parametru a funcţiei obiectiv ..................................... 198
2.10.6. Comentarii şi utilitate practică.......................................................................... 200
2.10.7. Aplicaţii propuse .............................................................................................. 201
2.11. Modele liniare de tip transport .................................................................................... 203
2.11.1. Formularea problemei ...................................................................................... 203
2.11.2. Rezolvarea problemelor echilibrate de minimizare.......................................... 206
2.11.3. Degenerarea soluţiilor ...................................................................................... 216
2.11.4. Rezolvarea problemelor echilibrate de maximizare ......................................... 219
2.11.5. Rezolvarea problemelor neechilibrate.............................................................. 222
2.11.6. Modele liniare de tip transport speciale............................................................ 225
2.11.7. Aplicaţii propuse .............................................................................................. 234
848 Matematici generale şi elemente de optimizare
3. Elemente de optimizare liniară în numere întregi............................................................ 237
3.1. Generalităţi.................................................................................................................... 239
3.1.1. Formularea problemei ........................................................................................ 239
3.1.2. Un exemplu numeric .......................................................................................... 241
3.2. Metodele lui Gomory pentru rezolvarea unei PPLNI ................................................... 244
3.2.1. Ideea lui Dantzig ................................................................................................ 244
3.2.2. Algoritmul lui Gomory pentru soluţionarea unei PPLTNI................................. 245
3.2.3. Algoritmul lui Gomory pentru soluţionarea unei PPLPNI................................. 258
3.2.4. Un algoritm al lui Gomory pentru o clasă particulară de PPLTNI.................... 272
3.2.5. Dificultăţi legate de metodele lui Gomory ........................................................ 280
3.3. Alte metode de rezolvare a PPLTNI ............................................................................. 280
3.3.1. Precizări.............................................................................................................. 280
3.3.2. Algoritmul Dantzig - Manne ............................................................................. 281
3.3.3. Metoda secvenţială a lui Bellman ...................................................................... 282
3.3.4. Metode de enumerare şi evaluare a soluţiilor..................................................... 295
3.4. Unele comentarii ........................................................................................................... 301
3.5. Aplicaţii propuse ........................................................................................................... 303
Partea a doua
Elemente de analiză matematică şi optimizare neliniară ............................................ 309
4. Noţiuni de analiză matematică........................................................................................... 311
4.1. Serii de numere ............................................................................................................. 313
4.1.1. Definiţii şi proprietăţi generale........................................................................... 313
4.1.2. Serii cu termeni oarecare .................................................................................... 316
4.1.3. Serii alternate...................................................................................................... 317
4.1.4. Serii cu termeni pozitivi ..................................................................................... 318
4.1.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 325
4.2. Serii de funcţii. Serii de puteri ...................................................................................... 328
4.2.1. Definiţii şi proprietăţi generale........................................................................... 328
4.2.2. Serii de puteri ..................................................................................................... 335
4.2.3. Serii Taylor......................................................................................................... 340
4.2.4. Dezvoltări în serie .............................................................................................. 341
4.2.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 343
4.3. Integrale generalizate sau improprii.............................................................................. 346
4.3.1. Formularea problemei ........................................................................................ 346
4.3.2. Integrale cu limite de integrare infinite .............................................................. 346
4.3.3. Integrale din funcţii nemărginite ........................................................................ 348
4.3.4. Integrale euleriene .............................................................................................. 351
4.3.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 354
4.4. Funcţii de mai multe variabile....................................................................................... 355
4.4.1. Noţiuni introductive ........................................................................................... 355
4.4.2. Funcţii definite pe mulţimi din Rn ...................................................................... 361
Cuprins 849
4.4.3. Limite. Continuitate............................................................................................ 364
4.4.4. Derivate parţiale. Diferenţiale ............................................................................ 367
4.4.5. Formula lui Taylor ............................................................................................. 380
4.4.6. Extreme libere sau necondiţionate...................................................................... 383
4.4.7. Diferenţiale şi derivate parţiale ale funcţiilor compuse...................................... 390
4.4.8. Funcţii omogene................................................................................................. 392
4.4.9. Funcţii implicite ................................................................................................. 394
4.4.10. Extreme cu legături sau condiţionate ............................................................... 402
4.4.11. Aplicaţii propuse .............................................................................................. 412
4.5. Noţiuni despre integrala dublă ...................................................................................... 423
4.5.1. Definiţie şi criterii de integrabilitate................................................................... 423
4.5.2. Proprietăţi ale integralei duble ........................................................................... 425
4.5.3. Calculul integralei duble .................................................................................... 426
4.5.4. Schimbarea de variabile în integrale duble ........................................................ 430
4.5.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 431
4.6. Noţiuni despre ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi....................................................... 433
4.6.1. Generalităţi ......................................................................................................... 433
4.6.2. Ecuaţii cu variabile separabile............................................................................ 435
4.6.3. Ecuaţii omogene................................................................................................. 435
4.6.4. Ecuaţii liniare ..................................................................................................... 436
4.6.5. Ecuaţii de tip Bernoulli....................................................................................... 437
4.6.6. O problemă privind capitalul acumulat .............................................................. 438
4.6.7. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 439
5. Elemente de optimizare neliniară ...................................................................................... 441
5.1. Formularea problemei ................................................................................................... 443
5.2. Funcţii convexe şi funcţii concave. Completări ............................................................ 445
5.3. Optimizare..................................................................................................................... 448
5.3.1. Optimizare fără condiţii...................................................................................... 448
5.3.2. Optimizare cu condiţii. Teorema Kuhn-Tucker ................................................. 450
5.3.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 460
5.4. Optimizare în ajustări şi previziune .............................................................................. 461
5.4.1. Formularea problemei ........................................................................................ 461
5.4.2. Metoda celor mai mici pătrate............................................................................ 462
5.4.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 466
5.5. Optimizare în gestiunea stocurilor şi a fondurilor băneşti ............................................ 467
5.5.1. Formularea problemei ........................................................................................ 467
5.5.2. Model de gestiune cu cerere constantă, perioadă constantă de
reaprovizionare şi fără ruptură de stoc ............................................................... 468
5.5.3. Model de gestiune cu cerere constantă, perioadă constantă de
reaprovizionare şi ruptură de stoc ...................................................................... 470
5.5.4. Aplicaţii în gestiunea lichidităţilor băneşti......................................................... 472
5.5.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 473
850 Matematici generale şi elemente de optimizare
5.6. Repartizare optim-utilă a fondurilor.............................................................................. 474
5.6.1. Utilitate globală .................................................................................................. 474
5.6.2. Repartizare optim-utilă....................................................................................... 477
5.6.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 478
5.7. Conexiuni optime în modelele de tip funcţii de producţie ............................................ 479
5.7.1. Funcţii de producţie............................................................................................ 479
5.7.2. Conexiuni optime ............................................................................................... 481
5.7.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 482
Partea a treia
Elemente de calculul probabilităţilor, statistică matematică
şi optimizare stochastică .................................................................................... 483
6. Noţiuni de calculul probabilităţilor ................................................................................... 485
6.1. Câmp finit de evenimente ............................................................................................. 487
6.1.1. Evenimente......................................................................................................... 487
6.1.2. Operaţii cu evenimente....................................................................................... 488
6.1.3. Câmp de evenimente .......................................................................................... 491
6.1.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 493
6.2. Câmp de probabilitate ................................................................................................... 497
6.2.1. Definiţia clasică a probabilităţii.......................................................................... 497
6.2.2. Definiţia axiomatică a probabilităţii................................................................... 498
6.2.3. Proprietăţi ale probabilităţii................................................................................ 499
6.2.4. Probabilitate condiţionată. Independenţa probabilistă ....................................... 501
6.2.5. Formule de adunare şi formule de înmulţire ale probabilităţilor........................ 504
6.2.6. Inegalitatea lui Boole.......................................................................................... 506
6.2.7. Formula probabilităţii totale şi formula lui Bayes.............................................. 507
6.2.8. Scheme de calcul al probabilităţilor ................................................................... 509
6.2.9. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 515
6.3. Variabile aleatoare ........................................................................................................ 524
6.3.1. Definiţii, notaţii şi proprietăţi............................................................................. 524
6.3.2. Operaţii cu variabile aleatoare discrete .............................................................. 528
6.3.3. Funcţia de repartiţie............................................................................................ 533
6.3.4. Densitate de repartiţie......................................................................................... 536
6.3.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 540
6.4. Valoare medie, dispersie, momente .............................................................................. 547
6.4.1. Valoarea medie................................................................................................... 547
6.4.2. Dispersie. Abatere medie pătratică. Momente.................................................... 552
6.4.3. Inegalitatea lui Cebîşev ...................................................................................... 556
6.4.4. Mediană, cuantile, modă, asimetrie şi exces ...................................................... 557
6.4.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 559
6.5. Corelaţie şi regresie....................................................................................................... 565
6.5.1. Variabile aleatoare bidimensionale. Vectori aleatori ......................................... 565
Cuprins 851
6.5.2. Corelaţie sau covarianţă ..................................................................................... 570
6.5.3. Coeficient de corelaţie. Matrice de corelaţie ...................................................... 571
6.5.4. Variabile aleatoare condiţionate ......................................................................... 580
6.5.5. Valori medii condiţionate. Rapoarte de corelaţie ............................................... 584
6.5.6. Funcţii de regresie. Dreapta de regresie ............................................................. 591
6.5.7. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 594
6.6. Funcţia caracteristică. Funcţia generatoare de momente............................................... 606
6.6.1. Funcţia caracteristică.......................................................................................... 606
6.6.2. Funcţia generatoare de momente........................................................................ 610
6.6.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 612
6.7. Repartiţii clasice............................................................................................................ 613
6.7.1. Repartiţii discrete unidimensionale .................................................................... 613
6.7.2. Repartiţii continue unidimensionale................................................................... 619
6.7.3. Repartiţia normală bidimensională..................................................................... 648
6.7.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 650
6.8. Legea numerelor mari ................................................................................................... 651
6.8.1. Formularea problemei ........................................................................................ 651
6.8.2. Tipuri de convergenţă pentru şiruri de variabile aleatoare ................................. 652
6.8.3. Teoreme ale legii numerelor mari ...................................................................... 654
6.8.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 661
6.9. Repartiţii şi teoreme limită............................................................................................ 663
6.9.1. Formularea problemei ........................................................................................ 663
6.9.2. Teoreme limită ................................................................................................... 663
6.9.3. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 667
6.10. Noţiuni despre procese aleatoare de tip Markov......................................................... 668
6.10.1. Definiţii şi notaţii generale ............................................................................... 668
6.10.2. Procese Markov. Consideraţii generale............................................................ 675
6.10.3. Lanţuri Markov cu mulţimea stărilor discretă .................................................. 678
6.10.4. Procese Poisson ................................................................................................ 690
6.10.5. Procese de naştere şi de moarte ........................................................................ 700
7. Noţiuni de statistică matematică........................................................................................ 709
7.1. Selecţie.......................................................................................................................... 711
7.1.1. Consideraţii generale.......................................................................................... 711
7.1.2. Prezentări şi prelucrări ale observaţiilor............................................................. 712
7.1.3. Fundamente teoretice ......................................................................................... 722
7.1.4. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 734
7.2. Estimaţii ........................................................................................................................ 736
7.2.1. Formularea problemei estimaţiei ........................................................................ 736
7.2.2. Tipuri de estimatori şi de estimaţii ..................................................................... 738
7.2.3. Estimare punctuală ............................................................................................. 746
7.2.4. Estimare prin intervale de încredere................................................................... 753
7.2.5. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 761
852 Matematici generale şi elemente de optimizare
7.3 Ipoteze statistice............................................................................................................ 764
7.3.1. Noţiuni generale ................................................................................................. 764
7.3.2. Modalitatea de verificare a ipotezelor. Regiune critică...................................... 765
7.3.3. Erori şi riscuri..................................................................................................... 766
7.3.4. Puterea unui test. Cel mai puternic test .............................................................. 767
7.3.5. Ipoteze asupra parametrilor repartiţiei normale.................................................. 772
7.3.6. Aplicaţii propuse ................................................................................................ 778
8. Elemente de optimizare în condiţii probabiliste............................................................... 781
8.1. Generalităţi.................................................................................................................... 783
8.2. Gestiune optimă de stocuri sau de fonduri băneşti........................................................ 784
8.2.1. Formularea problemei ........................................................................................ 784
8.2.2. Model cu cerere aleatoare, cost unitar de penalizare pentru suprastocare,
cost unitar de penalizare pentru penurie (substocare) şi cost
de stocare neglijabil............................................................................................ 785
8.2.3. Model cu cerere aleatoare, cost unitar de stocare şi cost unitar
de penalizare pentru penurie............................................................................... 791
8.2.4. Aplicaţii în gestiunea lichidităţilor băneşti......................................................... 796
8.3. Finanţări optime cu costuri şi beneficii aleatoare.......................................................... 798
8.3.1. Formularea problemei ........................................................................................ 798
8.3.2. Criterii de evaluare a finanţărilor optime ........................................................... 803
8.3.3. Portofolii riscate MD - eficace ........................................................................... 809
8.4. Legi de repartiţie entropic optimale .............................................................................. 816
8.4.1. Formularea problemei ........................................................................................ 816
8.4.2. Măsuri ale cantităţii de informaţie...................................................................... 817
8.4.3. Principiul informaţiei maxime............................................................................ 819
8.4.4. Repartiţii optime................................................................................................. 820
8.4.5. Aplicaţii în gestiunea financiară......................................................................... 823
8.5. Diversitate şi diversificare optimă ................................................................................ 824
8.5.1. Formularea problemei.......................................................................................... 824
8.5.2. Măsuri ale diversităţii .......................................................................................... 824
8.5.3. Principiul diversificării optime ............................................................................ 831
8.5.4. Diversificări optime. ............................................................................................ 832
8.6. Aplicaţii propuse........................................................................................................... 836
Bibliografie............................................................................................................................... 843